扩展欧几里得————《数论》-白红宇

扩展欧几里得————《数论》

阅读量：6123 次

发布时间：2019-06-21

本文共 4654 字，大约阅读时间需要 15 分钟。

数论倒数，又称逆元（因为我说习惯逆元了，下面我都说逆元）

数论中的倒数是有特别的意义滴

你以为a的倒数在数论中还是1/a吗

(・∀・)哼哼~天真

先来引入求余概念

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）

(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）

(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）

(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错）

为什么除法错的

证明是对的难，证明错的只要举一个反例　　　　　　

(100/50)%20 = 2 ≠ (100%20) / (50%20) %20 = 0

对于一些题目，我们必须在中间过程中进行求余，否则数字太大，电脑存不下，那如果这个算式中出现除法，我们是不是对这个算式就无法计算了呢？

答案当然是 NO (>o<)

这时就需要逆元了

我们知道

如果

a*x = 1

那么x是a的倒数，x = 1/a

但是a如果不是1，那么x就是小数

那数论中，大部分情况都有求余，所以现在问题变了

a*x = 1 (mod p)

那么x一定等于1/a吗

不一定

所以这时候，我们就把x看成a的倒数，只不过加了一个求余条件，所以x叫做 a关于p的逆元

比如2 * 3 % 5 = 1，那么3就是2关于5的逆元，或者说2和3关于5互为逆元

这里3的效果是不是跟1/2的效果一样，所以才叫数论倒数

b的逆元，我们用inv(b)来表示

那么(a / b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p

这样就把除法，完全转换为乘法了 (。・ω・)，乘法超容易

正篇开始

逆元怎么求

(忘了说，a和p互质，a才有关于p的逆元)

方法一：

费马曾经说过：不想当数学家的数学家不是好数学家（(￣▽￣)~*我随便说的，别当真）

费马小定理

a^(p-1) ≡1 (mod p)

两边同除以a

a^(p-2) ≡1/a (mod p)

什么(,,• ₃ •,,)，这可是数论，还敢写1/a

应该写a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)

所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)

这个用快速幂求一下，复杂度O(logn)(ง •̀_•́)ง

1 LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){
    //a的b次方求余p  2     LL ret = 1; 3     while(b){ 4         if(b & 1) ret = (ret * a) % p; 5         a = (a * a) % p; 6         b >>= 1; 7     } 8     return ret; 9 }10 LL Fermat(LL a, LL p){
    //费马求a关于b的逆元 11         return pow_mod(a, p-2, p);12 }

方法二：

要用扩展欧几里德算法

还记得扩展欧几里德吗？（不记得的话，欧几里得会伤心的(╭￣3￣)╭♡）

a*x + b*y = 1

如果ab互质，有解

这个解的x就是a关于b的逆元

y就是b关于a的逆元

为什么呢？

你看，两边同时求余b

a*x % b + b*y % b = 1 % b

a*x % b = 1 % b

a*x = 1 (mod b)

你看你看，出现了！！！(/≥▽≤/)

所以x是a关于b的逆元

反之可证明y

附上代码：

1 #include
     
       2 typedef long long LL; 3 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){ 4     if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;} 5     else{ 6         ex_gcd(b, a % b, y, x, d); 7         y -= x * (a / b); 8     } 9 }10 LL inv(LL t, LL p){
    //如果不存在，返回-1 11     LL d, x, y;12     ex_gcd(t, p, x, y, d);13     return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;14 }15 int main(){16     LL a, p;17     while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){18         printf("%lld\n", inv(a, p));19     }20 }

方法三：

当p是个质数的时候有

inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

这为啥是对的咩？

证明不想看的孩子可以跳过。。。（￣0 ￣）

证明：

设x = p % a,y = p / a

于是有 x + y * a = p

(x + y * a) % p = 0

移项得 x % p = (-y) * a % p

x * inv(a) % p = (-y) % p

inv(a) = (p - y) * inv(x) % p

于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1

代码：

1 #include
     
       2 typedef long long LL; 3 LL inv(LL t, LL p) {
    //求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下  4     return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p; 5 } 6 int main(){ 7     LL a, p; 8     while(~scanf("%lld%lld", &a, &p)){ 9         printf("%lld\n", inv(a%p, p));10     }11 }

这个方法不限于求单个逆元，比前两个好，它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元

递归就是上面的写法，加一个记忆性递归，就可以了

递推这么写

1 #include
     
       2 const int N = 200000 + 5; 3 const int MOD = (int)1e9 + 7; 4 int inv[N]; 5 int init(){ 6     inv[1] = 1; 7     for(int i = 2; i < N; i ++){ 8         inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD; 9     }10 }11 int main(){12     init();13 }

又学到新知识了o(*≧▽≦)ツ好开心

拓展欧几里得（Extend- Euclid）

背景：

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y [x,y都是整数]，使它们满足贝祖等式： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。 ——百度百科

用到的几个欧几里得重要结论：

1) gcd(a,b) = gcd(b,a %b);

2) gcd(a,0) = a.

代码：

(1)

1 ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) 2 { 3     ll d; 4     //if (a == 0 && b == 0) return -1;// 无GCD 5     if (b == 0) 6     { 7         x = 1; 8         y = 0; 9         return a;10     }11     d = exgcd(b, a%b, y, x);12     y -= a / b * x;13     return d;14 }15 16 //求a关于模n的逆元,不存在返回-117 ll inverse(ll a, ll MOD)18 {19     ll x, y, d;20     d = exgcd(a, MOD, x, y);21     if (d == 1)22         return (x % MOD + MOD) % MOD;23 24    // else   return -1;25 }

(2)

1 typedef __int64 ll; 2 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll &y) 3 { 4     if(!b) 5     { 6         d = a, x = 1, y = 0; 7     } 8     else 9     {10         exgcd(b, a % b, d, y, x);11         y -= x * (a / b);12     }13 }